Question

【题目】如图，一条直线与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点，与x轴交于点D，AC⊥x轴，垂足为C．

（1）求反比例函数的解析式及D点的坐标；

（2）点P是线段AD的中点，点E，F分别从C，D两点同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA，DC运动，到点A，C时停止运动，设运动的时间为t（s）．

①求证：PE＝PF．②若△PEF的面积为S，求S的最小值．

Answer 1

【答案】（1），D（5，0）；（2）①证明见试题解析；②2．

【解析】

（1）把点A的坐标代入求出k的值，即可得出反比例函数的解析式；求出点B的坐标，再求出直线AB的解析式，即可求出D点的坐标；

（2）①由△ACD为等腰直角三角形，得出∠ADC=45°，得出CP=PD，CP⊥AD，∠ADC=∠ACP，即可得出△ECP≌△FDP，从而有PE=PF；

②由△ECP≌△FDP，得出∠EPC=∠FPD，得出∠EPF=∠CPD=90°，得到△EPF为等腰直角三角形，从而有△PEF的面积S= ，当PE⊥AC时，PE最小，求出PE的最小值，即可得出S的最小值．

（1）把点A（1，4）代入得：k=4，∴反比例函数的解析式为：；把点B（4，n）代入得：n=1，∴B（4，1），设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得：，解得：k=﹣1，b=5，∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5，当y=0时，x=5，∴D点坐标为：（5，0）；

（2）①∵A（1，4），C（1，0 ），D（5，0），AC⊥x轴于C，∴AC=CD=4，∴△ACD为等腰直角三角形，∴∠ADC=45°，∵P为AD中点，∴∠ACP=∠DCP=45°，CP=PD，CP⊥AD，∴∠ADC=∠ACP，∵点E，F分别从C，D两点同时出发，以每秒1个单位的速度沿CA，DC运动，∴EC=DF，在△ECP和△FDP中，∵CP=PD，∠ECP=∠PDF，EC=DF，∴△ECP≌△FDP（SAS），∴PE=PF；

②∵△ECP≌△FDP，∴∠EPC=∠FPD，∴∠EPF=∠CPD=90°，∴△PEF为等腰直角三角形，∴△PEF的面积S= ，∴△PEF的面积最小时，EP最小，∵当PE⊥AC时，PE最小，此时EP最小值=CD=2，∴△PEF的面积S的最小值==2．