Question

14．如图，已知∠MON=30°，点A₁、A₂、A₃…在射线ON上，点B₁、B₂、B₃…在射线OM上，△A₁B₁A₂、△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄ …均为等边三角形，若OA₁=$\frac{1}{3}$，则△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₆的边长为$\frac{{2}^{2014}}{3}$．

Answer 1

分析 根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，以及A₂B₂=2B₁A₂，得出A₃B₃=4B₁A₂=$\frac{4}{3}$，A₄B₄=8B₁A₂=$\frac{8}{3}$，A₅B₅=16B₁A₂…进而得出答案．

解答 解：∵△A₁B₁A₂是等边三角形，
∴A₁B₁=A₂B₁，
∵∠MON=30°，
∴OA₁=A₁B₁=$\frac{1}{3}$，
∴A₂B₁=$\frac{1}{3}$，
∵△A₂B₂A₃、△A₃B₃A₄是等边三角形，
∴A₁B₁∥A₂B₂∥A₃B₃，B₁A₂∥B₂A₃，
∴A₂B₂=2B₁A₂，B₃A₃=2B₂A₃，
∴A₃B₃=4B₁A₂=$\frac{4}{3}$，
A₄B₄=8B₁A₂=$\frac{8}{3}$，
A₅B₅=16B₁A₂=$\frac{16}{3}$，
以此类推：△A₂₀₁₅B₂₀₁₅A₂₀₁₆的边长为 $\frac{{2}^{2014}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2}^{2014}}{3}$．

点评 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A₃B₃=4B₁A₂，A₄B₄=8B₁A₂，A₅B₅=16B₁A₂进而发现规律是解题关键．