Question

1．△ABC中，∠BAC=90°，分别以AB、AC为边，得到等边△ABD、等边△ACE．过A作AH⊥BC于点H．求证：
（1）S_△ABD：S_△ACE=BH：CH；
（2）AE：AH=BD：BH；
（3）△ADH∽△CEH；
（4）判断DH和EH的关系．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得到AB=BD=AD，AC=CE=AE，∠3=∠4=∠5=∠8=60°，根据直角三角形的性质得到∠2=∠6，∠1=∠7，推出△ABH∽△ABC∽△ACH，于是得到$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BH}{AB}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC}$由等边△ABD∽等边△ACE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{AC}{AH}=\frac{AB}{BH}$，由于AB=BD，AC=AE，等量代换即可得到结论；
（3）连接DH，EH，同（2）可证AC：HC=AB：AH，等量代换得到CE：HC=AD：AH，根据∠3=∠8，∠1=∠7，证得∠DAH=∠ECH，于是得到△ADH∽△CEH，根据相似三角形的性质得到∠AHD=∠CHE；
（4）同（3）可证：∠DBH=∠EAH，由于$\frac{AE}{AH}=\frac{BD}{BH}$，于是得到△BHD∽AHE，根据相似三角形的性质得到∠DHE=∠AHD+∠AHE=∠AHD+∠BHD=∠AHB=90°，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵等边△ABD和△ACE，
∴AB=BD=AD，AC=CE=AE，∠3=∠4=∠5=∠8=60°，
∵Rt△ABC，∠BAC=90°，AH⊥BC，
∴∠1+∠2=∠1+∠6=∠2+∠7=90°，
∴∠2=∠6，∠1=∠7，
∴△ABH∽△ABC∽△ACH，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BH}{AB}$，$\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{AC}$，
∴AB²=BC•BH，AC²=CH•BC，
∵等边△ABD∽等边△ACE，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{A{B}^{2}}{A{C}^{2}}$=$\frac{BC•BH}{BC•CH}$=$\frac{BH}{CH}$；

（2）∵△ABH∽△ACH，
∴$\frac{AC}{AH}=\frac{AB}{BH}$，
∵AB=BD，AC=AE，
∴AE：AH=BD：BH；

（3）连接DH，EH，同（2）可证AC：HC=AB：AH，
∴CE：HC=AD：AH，
∵∠3=∠8，∠1=∠7，
∴∠DAH=∠ECH，
∴△ADH∽△CEH，
∴∠AHD=∠CHE；

（4）同（3）可证：∠DBH=∠EAH，
∵$\frac{AE}{AH}=\frac{BD}{BH}$，
∴△BHD∽△AHE，
∴∠DHE=∠AHD+∠AHE=∠AHD+∠BHD=∠AHB=90°，
∴DH⊥EH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．