Question

如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a₁，a₂，…，a_n，满足对任意一个正整数m，在a₁，a₂，…，a_n中都至少有一个为m的魔术数．

Answer 1

考点：抽屉原理

专题：

分析：首先分n≤6和n≥7两种情况探讨，根据被7除的余数有0、1、2、3、4、5、6，利用余数差的特征分析探讨即可．

解答：解：若n≤6，取m=1，2，…，7，
根据抽屉原理知，必有a₁，a₂，…，a_n中的一个正整数M是i，
j（1≤i＜j≤7）的公共的魔术数，即7|（10M+i），7|（10M+j）．
则有7|（j-i），但0＜j-i≤6，矛盾．
故n≥7．
又当a₁，a₂，…，a_n为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为k位数（k为正整数）．
则10^ki+m（i=1，2，…，7）被7除的余数两两不同．
若不然，存在正整数i，j（1≤i＜j≤7），满足7|[（10^kj+m）-（10^ki+m）]，即7|10^k（j-i），从而7|（j-i），矛盾．
故必存在一个正整数i（1≤i≤7），使得7|（10^ki+m），即i为m的魔术数．
故n的最小值为7．

点评：此题主要考查抽屉原理的实际运用，利用被一个数除的余数的特点，建立抽屉解决问题．