Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，S_△OBC=p²，S_△OAD=q²．求证：S_{四边形ABCD}=（p+q）²．

Answer 1

考点：梯形,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：设△AOB的面积为x，△DOC的面积为y，证△AOD∽△COB，求出

AO

OC

=

DO

OB

=

q

p

，推出

S△AOD

S△AOB

=

DO

OB

=

q

p

，

S△AOD

S△DOC

=

AO

OC

=

q

p

，求出x=pq，y=pq，即可得出答案．

解答：证明：设△AOB的面积为x，△DOC的面积为y，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵S_△OBC=p²，S_△OAD=q²，
∴

AO

OC

=

DO

OB

=

q

p

，
∴

S△AOD

S△AOB

=

DO

OB

=

q

p

，

S△AOD

S△DOC

=

AO

OC

=

q

p

，
∴x=pq，y=pq，
∴S_{四边形ABCD}=S_△AOB+S_△BOC+S_△DOC+S_△AOD=pq+p²+pq+q²=（p+q）²．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出△ABO和△DCO的面积．