Question

如图，△ABC是边长为a的等边三角形，△BCD中，BD=CD，∠BDC=120°，点M，N分别在AB，AC上，且∠MDN=60°．试问：△AMN的周长和面积是否随着点M，N的位置的改变而改变，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：计算题

分析：△AMN的周长不变，面积发生变化，理由为：延长AB到E，使BE=CN，连接ED，由三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC=BC，再由三角形BCD为等腰三角形得到两底角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EDM与三角形NDM全等，利用全等三角形的对应边相等得到ED=ND，再利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EMD与三角形NMD全等，利用全等三角形对应边相等得到ME=MN，等量代换得到MN=MB+NC，表示出三角形AMN周长，等量代换求出周长为2a，而面积变化．

解答：解：△AMN的周长不变，面积发生变化，
理由为：延长AB到E，使BE=CN，连接ED，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵△BCD中，BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
∴∠EBD=∠NCD=90°，
在△BED和△CND中，

BD=CD ∠EBD=∠NCD BE=CN

，
∴△BED≌△CND（SAS），
∴ED=ND，∠BDE=∠CDN，
∵∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠BDM+∠BDE=60°，即∠EDM=∠NDM，
在△EDM和△NDM中，

MD=MD ∠EDM=∠NDM DE=DN

，
∴△EDM≌△NDM（SAS），
∴ME=MN，
∴MN=ME=MB+BE=MB+NC，
则△AMN周长为AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC=2a，△AMN面积发生变化．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．