Question

已知关于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²-k-2=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）△ABC中，一边的长为5，其余两边的长是该方程的两个实数根，当△ABC是等腰三角形时，求k的值及△ABC的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解,三角形三边关系,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）先求出△的值，再根据△的意义即可得到结论；
（2）根据方程有两个不相等的实数根，△ABC其余两边的长是该方程的两个实数根，得出△ABC的腰长为5，再把5的值代入求出k的值，最后根据周长公式即可求出答案．

解答：解：（1）∵△=[-（2k-1）]²-4×1×（k²-k-2）=9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；

（2）∵方程有两个不相等的实数根，△ABC其余两边的长是该方程的两个实数根，
∴△ABC其余两边的长不相等，
∵△ABC一边的长为5，△ABC是等腰三角形，
∴△ABC的腰长为5，
∴方程x²-（2k-1）x+k²-k-2=0有一个根是5，
∴5²-5（2k-1）+k²-k-2=0，
∴k₁=4，k₂=7，
当k=4时，方程x²-（2k-1）x+k²-k-2=0变形为x²-7x+10=0，该方程的两个实数根是x₁=2，x₂=5，△ABC的周长是5+5+2=12．
当k=7时，方程x²-（2k-1）x+k²-k-2=0变形为x²-13x+40=0，该方程的两个实数根是x₁=8，x₂=5，△ABC的周长是5+5+8=18．

点评：本题考查了一元二次方程的解和根的判别式以及等腰三角形性质，关键是根据题意求出△ABC其它两个边的长．