Question

已知x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，求证：ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：证明题

分析：先根据根与系数的关系得到

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂，则ax²+bx+c=a（x²+

b

a

x+

c

a

）=a[x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂]，然后分解因式即可．

解答：证明：∵x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂，
∴ax²+bx+c=a（x²+

b

a

x+

c

a

）
=a[x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂]
=a（x-x₁）（x-x₂）．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．