Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠ABC=

4

3

，BE=7

2

，求线段PC的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，则可判断AD∥OC，根据平行线的性质得∠1=∠3，加上∠2=∠3，则∠1=∠2；
（2）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ACB=90°，∠AEB=90°，再证明△AEB为等腰直角三角形得到AB=

2

BE=14，在Rt△ACB中，利用tan∠ABC=

AC

BC

=

4

3

可计算出AC=

56

5

，BC=

42

5

，接着证明Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比可计算出AD=

224

25

，DC=

168

25

，然后证明△POC∽△PDA，则利用相似比可计算出PC的长．

解答：（1）证明：∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连结AE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠AEB=90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AB=

2

BE=

2

×7

2

=14，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=

AC

BC

=

4

3

，设AC=4x，BC=3x，
∴AB=

AC2+BC2

=5x，
∴5x=14，解得x=

14

5

，
∴AC=

56

5

，BC=

42

5

，
∵∠1=∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

=

DC

BC

，即

AD

56 5

=

56 5

14

=

DC

42 5

，
∴AD=

224

25

，DC=

168

25

，
∵OC∥AD，
∴△POC∽△PDA，
∴

PC

PD

=

OC

AD

，即

PC

PC+ 168 25

=

7

224 25

，
∴PC=

168

7

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．