Question

如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．
（1）求∠D的度数；
（2）若CD=1，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：（1）根据切线的性质得∠OCD=90°，加上∠A=∠OCA，根据三角形外角性质得∠COD=2∠A，由于∠D=2∠CAD，所以∠COD=∠D，于是可判断△COD为等腰直角三角形，于是得到∠D=45°；
（2）根据等腰直角三角形的性质得CO=CD=1，OD=

2

CD=

2

，则OB=OC=1，然后利用BD=OD-OB进行计算．

解答：解：（1）∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
∴∠COD=2∠A，
∵∠D=2∠CAD，
∴∠COD=∠D，
∴△COD为等腰直角三角形，
∴∠D=45°；
（2）∵△COD为等腰直角三角形，
∴CO=CD=1，OD=

2

CD=

2

，
∴OB=OC=1，
∴BD=OD-OB=

2

-1．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．