Question

如图4，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），交y轴于点C，且S_△ABC=16．
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式及其对称轴；
（3）若正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），求S_{正方形DEFG}．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式

专题：

分析：（1）由A（2，0），B（6，0），可得AB=6-2=4．由S_△ABC=16，根据三角形的面积公式得出

1

2

×4•OC=16，求出OC=8，于是得到点C的坐标为（0，8）；
（2）由抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），再将C（0，8）代入，利用待定系数法求出抛物线的解析式为y=

2

3

x²-

16

3

x+8，进而得到对称轴为直线x=4；
（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，根据题意得出D（4-

1

2

m，-m），E（4+

1

2

m，-m）．将E（4+

1

2

m，-m）代入y=

2

3

x²-

16

3

x+8，得-m=

2

3

×（4+

1

2

m）²-

16

3

×（4+

1

2

m）+8，解方程求出m的值，进而得到S_{正方形DEFG}．

解答：解：（1）∵A（2，0），B（6，0），
∴AB=6-2=4．
∵S_△ABC=16，
∴

1

2

×4•OC=16，
∴OC=8，
∴点C的坐标为（0，8）；

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点A（2，0），B（6，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-6），
将C（0，8）代入，得8=12a，
解得a=

2

3

，
∴y=

2

3

（x-2）（x-6）=

2

3

x²-

16

3

x+8，
故抛物线的解析式为y=

2

3

x²-

16

3

x+8，其对称轴为直线x=4；

（3）设正方形DEFG的边长为m，则m＞0，
∵正方形DEFG内接于抛物线和x轴（边FG在x轴上，点D，E分别在抛物线上），
∴D（4-

1

2

m，-m），E（4+

1

2

m，-m）．
将E（4+

1

2

m，-m）代入y=

2

3

x²-

16

3

x+8，
得-m=

2

3

×（4+

1

2

m）²-

16

3

×（4+

1

2

m）+8，
整理得，m²+6m-16=0，
解得m₁=2，m₂=-8（不合题意舍去），
∴正方形DEFG的边长为2，
∴S_{正方形DEFG}=2²=4．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，难度适中．（3）中设出正方形DEFG的边长为m，根据二次函数与正方形的性质用含m的代数式正确表示点D与点E的坐标是解题的关键．