Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长交CE于点E，若AB=6，AD=2CD，则BE的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理

专题：

分析：如图，作辅助线；证明AB∥CF，得到△ABD∽△CED，进而得到

AB

CE

=

AD

CD

，结合AD=2CD，AB=6，求出CE=3；求出EG、CG的长度，运用勾股定理即可解决问题．

解答：解：如图，过点E作EG⊥CF于点G；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=BC=6；
∴∠ACF=120°，而CE是外角平分线，
∴∠ACE=∠ECG=60°，∠A=∠ACE，
∴AB∥CF，△ABD∽△CED，
∴

AB

CE

=

AD

CD

，而AD=2CD，AB=6，
∴CE=3；而∠ECG=60°，
∴∠CEG=30°，CG=

1

2

CE=1.5，EG=

3 3

2

，
∴BG=7.5；
由勾股定理得：BE²=BG²+EG²，
∴BE=3

7

，
故答案为3

7

．

点评：该题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线；灵活运用等边三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理等几何知识点来分析、判断、解答．