Question

7．如图，已知，A（0，4），B（-3，0），C（2，0），D为B点关于AC的对称点，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过D点．
（1）证明：四边形ABCD为菱形；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）设过点C和点D的一次函数y=kx+b，求不等式kx+b-$\frac{k}{x}$＞0的解．（请直接写出答案）；
（4）己知在y=$\frac{k}{x}$的图象上一点N，y轴上一点M，且点A、B、M、N组成四边形是平行四边形，求M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先计算出AB=5，BC=5，再根据轴对称的性质得AD=AB=5，CD=CB=5，于是可根据菱形的判定方法得到四边形ABCD为菱形；
（2）由菱形的性质得AD∥BC，则D（5，4），然后把D点坐标代入y=$\frac{k}{x}$求出k的值即可得到反比例函数解析式为y=$\frac{20}{x}$；
（3）利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{20}{x}}\\{y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$得直线CD与反比例函数y=$\frac{20}{x}$的交点坐标为（5，4），（-3，-$\frac{20}{3}$），然后观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（4）讨论：当AM为对角线，如图，利用平行四边形的性质，可把B点向右平移3个单位可得M点，则A点向右平移3个单位可得N点，则利用反比例函数解析式可确定N（3，$\frac{20}{3}$），于是得到A点向右平移3个单位，再向上平移（$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$）单位可得N点，利用同样平移得到M点坐标为（0，$\frac{8}{3}$）；当AM′为边，如图，由四边形ABN′M′为平行四边形得到BN′∥AM′，AM′=BN′，则可确定N′（-3，-$\frac{20}{3}$），所以BN′=AM′=$\frac{20}{3}$，则OM′=$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$，易得M′点坐标为（0，-$\frac{8}{3}$）或（0，$\frac{32}{3}$）

解答 （1）证明：∵A（0，4），B（-3，0），C（2，0），
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，BC=5，
∵D为B点关于AC的对称点，
∴AD=AB=5，CD=CB=5，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD为菱形；
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
而AD=5，A（0，4），
∴D（5，4），
把D（5，4）代入y=$\frac{k}{x}$得k=5×4=20，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{20}{x}$；
（3）解：把C（2，0），D（5，4）代入y=ax+b得$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=0}\\{5a+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{8}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{20}{x}}\\{y=\frac{4}{3}x-\frac{8}{3}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线CD与反比例函数y=$\frac{20}{x}$的交点坐标为（5，4），（-3，-$\frac{20}{3}$），
∴当-3＜x＜0或x＞5时，ax+b-$\frac{k}{x}$＞0，
即不等式kx+b-$\frac{k}{x}$＞0的解为-3＜x＜0或x＞5；
（4）解：当AM为对角线，如图，∵四边形ABMN为平行四边形，
∴B点向右平移3个单位可得M点，A点向右平移3个单位可得N点，
∴N点的横坐标为3，
当x=3时，y=$\frac{20}{x}$=$\frac{20}{3}$，则N（3，$\frac{20}{3}$），
∴A点向右平移3个单位，再向上平移（$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$）单位可得N点，
∴B点向右平移3个单位可得M点，再向上平移$\frac{8}{3}$单位可得M点，此时M点坐标为（0，$\frac{8}{3}$）；
当AM′为边，如图，
∵四边形ABN′M′为平行四边形，
∴BN′∥AM′，AM′=BN′，
∴N′点的横坐标为-3，则N′（-3，-$\frac{20}{3}$），
∴BN′=AM′=$\frac{20}{3}$，
∴OM′=$\frac{20}{3}$-4=$\frac{8}{3}$，或OM′=OA+AM′=$\frac{32}{3}$，
此时M′点坐标为（0，-$\frac{8}{3}$）或（0，$\frac{32}{3}$）
综上所述，满足条件的M点的坐标为（0，$\frac{8}{3}$），（0，-$\frac{8}{3}$），（0，$\frac{32}{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的判定方法和平行四边形的性质；理解坐标与图形性质，利用两点间的距离公式计算线段的长；会求反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标；能运用分类讨论的思想数学解决问题．