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【题目】如图,在矩形 ABCD 中,AB5AD3.以点 B 为中心,顺时针旋转矩形 BADC,得到矩形 BEFG,点 A、DC 的对应点分别为 EFG

1)如图1,当点 E 落在 CD 边上时,求线段 CE 的长;

2)如图2,当点 E 落在线段 DF 上时,求证:∠ABD=∠EBD

3)在(2)的条件下,CDBE 交于点 H,求线段 DH 的长.

【答案】14;(2)见解析;(3)DH

【解析】

(1)由旋转性质知BABE=5,由矩形性质知BCAD=3,再在Rt△BCE中根据勾股定理可得

(2)由旋转性质知∠BEF=∠A=90°,BEBA结合点E落在线段DF得∠BED=∠A=90°,再利用“HL”证△ABD≌△EBD即可得

(3)设DHx从而得CH=5﹣x再由矩形的性质知∠ABD=∠CDB结合∠ABD=∠EBD知∠CDB=∠EBD从而得DHBHx.在Rt△BCH根据CH2+BC2BH2求解可得

1)由旋转的性质知BABE=5.

∵四边形ABCD是矩形,∴ADBC=3,∠C=90°,∴CE4;

(2)由旋转的性质知∠BEF=∠A=90°,BEBA

∵点E落在线段DF,∴∠BED=∠A=90°.

在△ABD和△EBD中,∵,∴△ABD≌△EBD(HL),∴∠ABD=∠EBD

(3)设DHx

∵四边形ABCD是矩形,∴ABCDABCD=5,∴CHCDDH=5﹣x,∠ABD=∠CDB

又∵∠ABD=∠EBD,∴∠CDB=∠EBD,∴DHBHx.在Rt△BCH中,∵CH2+BC2BH2,∴(5﹣x2+32x2解得x,∴DH

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