Question

1．（1）已知xy=1，求$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$的值；
（2）已知a，b，c均为实数，且$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{ca}{c+a}$=$\frac{1}{5}$，求证：$\frac{abc}{ab+bc+ca}$=$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）先对$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$进行化简，然后根据xy=1，可以求得$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$的值．
（2）根据$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{ca}{c+a}$=$\frac{1}{5}$，可得$\frac{1}{a}，\frac{1}{b}，\frac{1}{c}$的值，从而可以证得$\frac{abc}{ab+bc+ca}$=$\frac{1}{6}$．

解答 解：（1）∵xy=1，
∴$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$
=$\frac{x（y+1）+y（x+1）}{（x+1）（y+1）}=\frac{xy+x+xy+y}{xy+x+y+1}$
=$\frac{2xy+x+y}{xy+1+x+y}=\frac{2+x+y}{2+x+y}=1$，
即$\frac{x}{x+1}$+$\frac{y}{y+1}$的值是1．
（2）证明：∵a，b，c均为实数，且$\frac{ab}{a+b}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{bc}{b+c}$=$\frac{1}{4}$，$\frac{ca}{c+a}$=$\frac{1}{5}$，
∴3ab=a+b，4bc=b+c，5ac=a+c．
∴3=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，4=$\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$，5=$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$．
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6$．
∴$\frac{abc}{ab+bc+ca}=\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{1}{6}$．
即$\frac{abc}{ab+bc+ca}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是灵活变化，找出所求问题需要的条件．