Question

如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC，BC=AD=4，P是AB边上的一个动点，正方形PQRS是一个边长为x的动正方形，其中Q点在AC上，PQ∥BC，（RS与A分居PQ的两侧），正方形PQRS与△ABC的重叠的面积为y．
（1）当RS落在BC上时，求x的值；
（2）当RS不在BC上时，求y与x的关系式；
（3）求y的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）当RS落在BC上时，先求△ABC的BC边上的高，由△APQ∽△ABC，利用相似比求x；
（2）分两种情况，当0＜x＜2时，正方形面积即为公共部分面积；当2＜x≤4时，由相似得公共部分的长、宽，表示面积，
（3）根据所求函数关系式，结合自变量取值范围分别求最大值，比较得出结论．

解答：解：（1）∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

PQ

BC

=

AE

AD

，即

x

4

=

4-x

4

，
解得x=2；

（2）分两种情况：
ⅰ．当0＜x＜2时，y=x²；
ⅱ．当2＜x≤4时，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴

PQ

BC

=

AE

AD

，即

x

4

=

AE

4

，
解得AE=x，DE=4-x，
∴y=PQ•DE=x（4-x）=-x²+4x，
故y=

x2(0＜x＜2) -x2+4x(2＜x≤4)

；

（3）①当RS落在△ABC外部时，y=-x²+4x=-（x-2）²+4（2＜x≤4），
∵当x=2时，y有最大值4，
∴y＜4；
②当RS落在BC边上时，由x=2可知，y=4，
③当RS落在△ABC内部时，y=x²＜4（0＜x＜2），
故比较以上三种情况可知：公共部分面积最大为4；

点评：本题考查了二次函数最值在求长方形面积中的运用．关键是根据题意表示长方形的面积，再根据自变量的取值范围及二次函数的最值求法求解．本题还考查了分类讨论的数学思想．