Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF＝DE．联结BF、CD、AC．

(1)求证：四边形ABFC是平行四边形；

(2)如果DE2＝BE·CE，求证四边形ABFC是矩形．

Answer 1

【答案】 (1) 证明见解析；(2) 证明见解析.

【解析】

（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．

（1）连接BD，

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，

∴AC=BD，

∵DE⊥BC，EF=DE，

∴BD=BF，CD=CF，

∴AC=BF，AB=CF，

∴四边形ABFC是平行四边形；

（2）∵DE2=BECE

∴，

∵∠DEB=∠DEC=90°，

∴△BDE∽△DCE，

∴∠CDE=∠DBE，

∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，

∴四边形ABFC是矩形．