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【题目】如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(08),点C的坐标为(60).抛物线y=﹣x2+bx+c经过点AC,与AB交于点D

(1)求抛物线的函数解析式;

(2)P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQCP,连接PQ,设CPm,△CPQ的面积为S

S关于m的函数表达式;

S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上,若存在点F,使△DFQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x2+x+8(2)S=﹣m2+3m;②满足条件的点F共有四个,坐标分别为F1(8)F2(4)F3(6+)F4(6)

【解析】

1)运用待定系数法求解;(2)①根据三角函数值性质得;②求函数的最值,根据抛物线性质求出D,Q的坐标,根据直角的位置有3种可能,展开分析,解直角三角形.

(1)AC两点坐标代入抛物线,得

解得:

∴抛物线的解析式为y

(2)①∵OA8OC6

AC

过点QQEBCE点,则sinACB

∴当m5时,S取最大值;

在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,

∵抛物线的解析式为y的对称轴为x

D的坐标为(38)Q(34)

当∠FDQ90°时,F1(8)

当∠FQD90°时,则F2(4)

当∠DFQ90°时,设F(n)

FD2+FQ2DQ2

+(8n)2+ +(n4)216

解得:n6±

F3(6+ )F4(6)

满足条件的点F共有四个,坐标分别为

F1(8)F2(4)F3(6+ )F4(6)

练习册系列答案
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次数

购买数量(件

购买总费用(元

A

B

第一次

2

1

55

第二次

1

3

65

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