Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+ax+2a+1的图象经过点M（2，-3）。

（1）求二次函数的表达式；

（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与二次函数y=x2+ax+2a+1的图象经过x轴上同一点，探究实数k，b满足的关系式；

（3）将二次函数y=x2+ax+2a+1的图象向右平移2个单位，若点P（x0，m）和Q（2，n）在平移后的图象上，且m＞n，结合图象求x0的取值范围．

Answer 1

【答案】(1）y=x2-2x-3；（2）k=b；（3）x0＜2或x0＞4．

【解析】

（1）将点M坐标代入y=x2+ax+2a+1，求出a的值，进而可得到二次函数表达式；（2）先求出抛物线与x轴的交点，将交点代入一次函数解析式，即可得到k，b满足的关系；（3）先求出平移后的新抛物线的解析式，确定新抛物线的对称轴以及Q的对称点Q′，根据m＞n结合图像即可得到x0的取值范围.

（1）把M（2，-3）代入y=x2+ax+2a+1，可以得到4+2a+2a+1=-3，a=-2，

因此，二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；

（2）y=x2-2x-3与x轴的交点是：（3，0），（-1，0）．

当y=kx+b（k≠0）经过（3，0）时，3k+b=0；

当y=kx+b（k≠0）经过（-1，0）时，k=b．

（3）将二次函数y=x2-2x-3的图象向右平移2个单位得到y=x2-6x+5，

对称轴是直线x=3，因此Q（2，n）在图象上的对称点是（4，n），

若点P（x0，m）使得m＞n，结合图象可以得出x0＜2或x0＞4．