Question

【题目】如图，矩形的对角线相交于点，，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，的长为，求四边形的周长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形OCED的周长为16cm．

【解析】

（1）先判定四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的对角线相等且互相平分可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；

（2）根据矩形的性质，先判定出△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出OA=OB=OC=AB并利用勾股定理求出AB的长度，再根据菱形的面积公式进行计算即可得解．

（1）证明：∵DE∥AC ，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，

∴ AC＝BD，

∴OC＝OD，

∴四边形OCED是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝ 90°.

∴AC=BD.

∴OA=OB=OC

又∵∠CAB＝60，

∴△AOB是等边三角形

∴OA=OB=OC=AB

设AB＝x，

∴AC＝ 2x，

∴

∴，（舍）

∴OC=4，

由（1）可知四边形OCED是菱形，故它的周长为16cm．