【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,9),与y轴交于点A(0,5),与x轴交于点E,B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的解析式;
(2)过点A作AC平行于x轴,交抛物线于点C,点P为抛物线上的一点(点P在AC上方),作PD平行于y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形APCD的面积最大?并求出最大面积.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5(2)点P(, )时,S四边形APCD最大=
【解析】(1)利用顶点式即可求出二次函数解析式;
(2)先求出直线AB的解析式,设出点P坐标(x,-x2+4x+5),建立函数关系式S四边形APCD=×AC×PD=2(-x2+5x)=-2x2+10x,根据二次函数求出极值即可.
解:(1)设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+9,
∵抛物线与y轴交于点A(0,5),
∴4a+9=5,
∴a=﹣1,
y=﹣(x﹣2)2+9=﹣x2+4x+5,
(2)当y=0时,﹣x2+4x+5=0,
∴x1=﹣1,x2=5,
∴E(﹣1,0),B(5,0),
设直线AB的解析式为y=mx+n,
∵A(0,5),B(5,0),
∴m=﹣1,n=5,
∴直线AB的解析式为y=﹣x+5;
设P(x,﹣x2+4x+5),
∴D(x,﹣x+5),
∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x,
∵AC=4,
∴S四边形APCD=×AC×PD=2(﹣x2+5x)=﹣2x2+10x=﹣(x﹣)2+,
∵﹣1<0
∴当x=时,
∴即:点P(, )时,S四边形APCD最大=.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于G,交BE于H.下列结论:①S△ABE=S△BCE;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④BH=CH.其中所有正确结论的序号是
A.①②③④B.①②③C.②④D.①③
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为,,现同时将点,分别向上平移个单位,再向右平移个单位,分别得到点,的对应点,,连接,,.(三角形可用符号表示,面积用符号表示)
(1)直接写出点,的坐标.
(2)在轴上是否存在点,连接,,使,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)点在直线上运动,连接,.
①若在线段之间时(不与,重合),求的取值范围;
②若在直线上运动,请直接写出,,的数量关系.
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【题目】如图,已知.点C在点的右侧, ,平分么,平分所在的直线交于点,点在之间。
(1)如图1,点在点A的左侧,若 ,求的度数?
(2)如图2,点在点A的右侧,若,直接写出的大小.
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【题目】在学校组织的“学习强国”阅读知识竞赛中,有901班和902班两个班参加比赛且人数相同,成绩分为A,B,C,D四个等级,其中相应等级的得分依次记为100分,90分,80分和70分.年级组长李老师将901班和902班的成绩进行整理并绘制成如下的统计图:
平均数(分) | 中位数(分) | 众数(分) | B级及以上人数 | |
901班 | 87.6 | 90 | 18 | |
902班 | 87.6 | 100 |
(1)在本次竞赛中,902班C级及以上的人数有多少?
(2)请你将表格补充完整:
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【题目】如图,E,F,M分别是正方形ABCD三边的中点,CE与DF交于N,连接AM,AN,MN对于下列四个结论:①AM∥CE;②DF⊥CE;③AN=BC;④∠AND=∠CMN. 其中错误的是( )
A.①B.②C.③D.④
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【题目】一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),其表达式是的形式. 请根据所给的数据求出的值.
(2)求支柱MN的长度.
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?请说说你的理由.
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【题目】为了解学生对各种球类运动的喜爱程度,小明采取随机抽样的方法对他所在学校的部分学生进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一种项目),对调查结果进行统计后,绘制了下面的统计图(1)和图(2).
(1)此次被调查的学生共有___人,m=_____;
(2)求喜欢“乒乓球”的学生的人数,并将条形统计图补充完整;
(3)若该校有2000名学生,估计全校喜欢“足球”的学生大约有多少人?
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