Question

【题目】《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完.我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题.

（规律探索）

(1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝1－＝__________；

如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则S阴影2＝1－－()2＝_______；

同种操作，如图3，S阴影3＝1－－()2－()3＝__________；

如图4，S阴影4＝1－－()2－()3－()4＝___________；

……

若同种地操作n次，则S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n＝_________.

（规律归纳）

(2)直接写出＋＋＋…＋的化简结果：_________.

（规律应用）

(3)直接写出算式＋＋＋…＋的值：__________.

Answer 1

【答案】（1）；；；；()n；（2）；（3）.

【解析】

(1)结合图形计算即可求出，按照规律推出S阴影n的表达式即可；

（2）由上面的规律可得1----…-=，然后转换得到＋＋＋…＋再化简即可；

（3）把（2）的化简结果计算即可得出.

(1)根据图像和计算直接可得S阴影1＝1－=；

S阴影2＝1－－()2＝；

S阴影3＝1－－()2－()3＝；

S阴影4＝1－－()2－()3－()4＝；

由此可以发现规律1－－()2－()3－…一直减下去，答案就等于减去的最后一个数的值；

故S阴影n＝1－－()2－()3－…－()n＝()n.

(2)由上面的规律可得1----…-=，

即＋＋＋…＋=1-=.

(3) ＋＋＋…＋=1-=.