Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式．

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．

（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．

（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S_△ADP=S_△BCD？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【专题】几何综合题；压轴题．

【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可求出二次函数解析式，

（2）把二次函数式转化可直接求出顶点坐标，由A对称关系可求出点D的坐标．

（3）由待定系数法可求出BC所在的直线解析式，与抛物线组成方程求出点E的坐标，利用△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积求出△BDE的面积．

（4）设点P到x轴的距离为h，由S_△ADP=S_△BCD求出h的值，根据h的正，负值求出点P的横坐标即可求出点P的坐标．

【解答】解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象过A（2，0），B（8，6）

∴，解得

∴二次函数解析式为：y=x²﹣4x+6，

（2）由y=x²﹣4x+6，得y=（x﹣4）²﹣2，

∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），

∵点A，D是y=x²+bx+c与x轴的两个交点，

又∵点A（2，0），对称轴为x=4，

∴点D的坐标为（6，0）．

（3）∵二次函数的对称轴交x轴于C点．

∴C点的坐标为（4，0）

∵B（8，6），

设BC所在的直线解析式为y=kx+b′，

∴，

解得，

∴BC所在的直线解析式为y=x﹣6，

∵E点是y=x﹣6与y=x²﹣4x+6的交点，

∴x﹣6=x²﹣4x+6

解得x₁=3，x₂=8（舍去），

当x=3时，y=﹣，

∴E（3，﹣），

∴△BDE的面积=△CDB的面积+△CDE的面积=×2×6+×2×=7.5．

（4）存在，

设点P到x轴的距离为h，

∵S_△BCD=×2×6=6，S_△ADP=×4×h=2h

∵S_△ADP=S_△BCD

∴2h=6×，解得h=，

当P在x轴上方时，

=x²﹣4x+6，解得x₁=4+，x₂=4﹣，

当P在x轴下方时，

﹣=x²﹣4x+6，解得x₁=3，x₂=5，

∴P₁（4+，），P₂（4﹣，），P₃（3，﹣），P₄（5，﹣）．

【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化．