Question

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．

（1）如图（1），当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP·CQ=        ．

（2）将三角板DEF由图（1）所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由．

（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图（2），图（3）供解题用）

Answer 1

解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，∴△APD∽△CDQ．

∴AP：CD=AD：CQ．∴即AP×CQ=AD×CD，∵AB=BC=4，∴斜边中点为O，∴AP=PD=2，∴AP×CQ=2×4=8；

（2）AP•CQ的值不会改变．理由如下：∵在△APD与△CDQ中，∠A=∠C=45°，∠APD=180°-45°-（45°+α）=90°-α，∠CDQ=90°-α

∴∠APD=∠CDQ．∴△APD∽△CDQ．∴

∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（AC）²=8．

（3）情形1：当0°＜α＜45°时，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ，过D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，∴DG=DN=2由（2）知：AP•CQ=8得AP=

于是y=AB•BC-CQ•DN-AP•DG=8-x-（2＜x＜4）
情形2：当45°≤α＜90°时，0＜CQ≤2时，即0＜x≤2，此时两三角板重叠部分为△DMQ，由于AP=，PB=-4，易证：△PBM∽△DNM，

∴   即     解得BM=．

∴MQ=4-BM-CQ=4-x-．于是y=MQ•DN=4-x-（0＜x≤2）．
综上所述，当2＜x＜4时，y=8-x-．

当0＜x≤2时，y=4-x-