Question

【题目】某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题做了如下研究：

（问题发现）（1）如图①，在等边三角形ABC中，点M是BC边上任意一点，连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ABC和∠ACN的数量关系为　 　；

（变式探究）（2）如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝BC，点M是BC边上任意一点（不含端点B，C，连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠AMN＝∠ABC，AM＝MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；

（解决问题）（3）如图③，在正方形ADBC中，点M为BC边上一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中心，连接CN，AB，AE，若正方形ADBC的边长为8，CN＝，直接写出正方形AMEF的边长．

Answer 1

【答案】（1） ；（2），理由见解析；（3）10

【解析】

（1）根据等边三角形的性质得到AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，证明△ABM≌△ACN，根据全等三角形的性质得到答案；

（2）证明△ABC∽△AMN．得到，再证明△ABM∽△ACN，根据相似三角形的性质证明结论；

（3）证明△ABM～△ACN，根据相似三角形的性质求出BM，根据勾股定理计算即可．

解：（1）∵△ABC与△AMN是等边三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAM＝∠CAN，

在△ABM与△ACN中，

,

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠ABC＝∠ACN，

故答案为：∠ABC＝∠ACN；

（2）∠ABC＝∠ACN，

理由如下：∵AB＝BC，AM＝MN，

∴,

∴ ，又∠ABC＝∠AMN，

∴△ABC∽△AMN．

∴,

∵∠BAC＝∠MAN，

∴∠BAM＝∠CAN，

∴△ABM∽△ACN，

∴∠ABC＝∠ACN；

（3）∵四边形ADBC，AMEF为正方形，

∴∠ABC＝∠BAC＝45°，∠MAN＝45°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，

∵,

∴,

又∠BAM＝∠CAN，

∴△ABM∽△ACN，

∴，即,

∴BM＝2，

∴CM＝6，

在Rt△AMC，AC＝8，CM＝6，

,

答：正方形AMEF的边长为10．