Question

【题目】如图，已知抛物线 （ 为常数）经过点 ，与 轴相 交于点 、（点 在点 的右侧）．

（1）求抛物线的解析式和点 的坐标；

（2）将直线 向下平移 （ ）个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点 ，求点 的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 、，在 正半轴上是否存在点 ，使以 、、 为顶点的三角形与 相似.若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣3x，点B的坐标为（3，0）；（2）（2，﹣2）；（3）存在，点P的坐标为（，0）或（6，0）

【解析】

（1）将代入中得出b的值，从而确定抛物线的解析式，再令得出点B 的坐标；

（2）根据待定系数法得出直线OA的解析式y=x，再设出平移后的解析式y=x﹣m，与二次函数解析式组成方程组，再根据△=16﹣4m=0，求出m的值，从而确定 的坐标；

（3）根据A、D两点坐标得出OA和OD的长，再分△OAP∽△OBD和△OAP∽△ODB两种情况进行讨论即可．

解：（1）∵抛物线y=x2+bx经过A（4，4），

∴将A点坐标代入得：，解得：，

∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x．

令，得：，解得：，.

∴点B的坐标为（3，0）.

（2）设直线OA的解析式为y=k1x，由点A（4，4），

得：4=4k1，解得：k1=1 ，

∴直线OA的解析式为y=x，

∴直线OA向下平移m个单位长度后的解析式为：

y=x﹣m，

∴x﹣m=x2﹣3x，

∵抛物线与直线只有一个公共点，∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，

此时x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，

∴D点的坐标为（2，﹣2）．

（3）由点A（4，4）可得，∠AOB=45°,

由点D（2，—2）可得，∠DOB=45°,

∴∠AOB=∠DOB.

，

.

如图，当∠OAP=∠OBD时，△OAP∽△OBD,

则，.

∴ ，∴OP=.

如图，当∠OAP=∠ODB时，△OAP∽△ODB,

则，，即，

∴ OP=6

故点P的坐标为（，0）或（6，0）．