【题目】如图,△DAC 和△EBC 均是等边三角形,A,C,B 三点在一条直线上,AE,BD 分别与 CD、CE 交于点 M、N,AE,BD 相交于点 O.
(1)求证:△ACE ≌△DCB;
(2)求∠AOD 的度数
(3)判断△CMN 的形状并说明理由。
【答案】(1)见详解;(2)60°;(3)见详解.
【解析】
(1)欲证三角形全等,利用全等的条件进行判定即可;因为△DAC和△ECB均为等边三角形,即有∠ACD=∠ECB=60°,再注明即可得出∠ACD=∠DCB,利用边的关系,即可得证△ACE≌△DCB;
(2)由全等三角形的性质和三角形的外角性质即可得出结果;
(3)先证△MCE≌△NCB,从而得到MC=NC,再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断△CMN 的形状是等边三角形.
(1)证明:∵△DAC是等边三角形,
∴AC=DC,∠ACD=60°,
∵△BCE为等边三角形,
∴CE=CB,∠ECB=60°,
∴∠ACD=∠ECB=60°,
∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB,
在△ACE和△BCD中,
,
∴△ACE≌△DCB(SAS);
(2)解:∵△ACE≌△DCB,
∴∠AEC=∠ABD.
∵∠AEC+∠BAO=∠BCE=60°
∴∠ABD +∠BAO=∠BCE=60°,
∵∠ABD +∠BAO=∠AOD,
∴∠AOD=60°.
(3)解:△CMN是等边三角形,理由如下:
∵△ACE≌△DCB,
∴∠AEC=∠ABD.
在△MCE和△NCB中,
∴△MCE≌△NCB(ASA)
∴CM=CN,
∵
∴△CMN是等边三角形.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,,
,点E从点B出发,沿BC边运动到点C,连结DE,过点E作DE的垂线交AB于点F.
求证:
;
求BF的最大值;
如图2,在点E的运动过程中,以EF为边,在EF上方作等边
,求边EG的中点H所经过的路径长.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c经过△ABC的三个顶点,与y轴相交于(0, ),点A坐标为(-1,2),点B是点A关于y轴的对称点,点C在x轴的正半轴上.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点F为线段AC上一动点,过点F作FE⊥x轴,FG⊥y轴,垂足分别为点E,G,当四边形OEFG为正方形时,求出点F的坐标;
(3)将(2)中的正方形OEFG沿OC向右平移,记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG,当点E和点C重合时停止运动,设平移的距离为t,正方形的边EF与AC交于点M,DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】阅读理解:如图,A.B.C为数轴上三点,若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍,我们就称点C是(A,B)的好点.例如,如图1,点A表示的数为-1,点B表示的数为2.表示数1的点C到点A的距离是2,到点B的距离是1,那么点C是(A,B)的好点;又如,表示数0的点D到点A的距离是1,到点B的距离是2,那么点D就不是(A,B)的好点,但点D是(B,A)的好点.
知识运用:如图2,M、N为数轴上两点,点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.
(1)数 所表示的点是(M,N)的好点;
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N出发,以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动,运动时间为t.当t为何值时,P、M、N中恰有一个点为其余两点的好点?
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【题目】边长为a的等边三角形,记为第1个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接得到一个正六边形,记为第1个正六边形,取这个正六边形不相邻的三边中点,顺次连接又得到一个等边三角形,记为第2个等边三角形,取其各边的三等分点,顺次连接又得到一个正六边形,记为第2个正六边形(如图),…,按此方式依次操作,则第6个正六边形的边长为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC的方向平移,得到△A′B′C′,再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后,点B′恰好与点C重合,则平移的距离和旋转角的度数分别为( )
A.4,30° B.2,60° C.1,30° D.3,60°
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【题目】如图,一个点表示一个数,不同位置的点表示不同的数,每行各点所表示的数自左向右从小到大,且相邻两个点所表示的数相差1,每行数的和等于右边相应的数字,那么,表示2020的点在第______行,从左向右第______个位置.
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【题目】12月4日为全国法制宣传日,当天某初中组织4名学生参加法制知识竞赛,共设20道选择题,各题分值相同,每题必答,下表记录了其中2名参赛学生的得分情况.
参赛者 | 答对题数 | 答错题数 | 得分 |
A | 20 | 0 | 100 |
B | 17 | 3 | 79 |
(1)参赛学生得72分,他答对了几道题?答错了几道题?
(2)参赛学生说他可以得88分,你认为可能吗?为什么?
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【题目】甲乙两地相距180km,一列慢车以40km/h的速度从甲地匀速驶往乙地,慢车出发30分钟后,一列快车以60km/h的速度从甲地匀速驶往乙地.两车相继到达终点乙地,再次过程中,两车恰好相距10km的次数是( )
A.1B.2C.3D.4
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