Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，，，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F．

求证：；

求BF的最大值；

如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边，求边EG的中点H所经过的路径长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当时，BF存在最大值；（3）点H所经过的路径长是．

【解析】分析：（1）依据∠BFE+∠BEF=90°，∠CED+∠BEF=90°，即可得到∠BFE=∠CED，再根据∠CED=∠ADE，即可得出∠BFE=∠ADE；

（2）依据△BEF∽△CDE，即可得到，设BE=x（0≤x≤3），则CE=3-x，根据BF=，即可得到当x=时，BF存在最大值；

（3）连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM，依据BM=EM=HM=FM，可得点B，E，H，F四点共圆，连接BH，则∠HBE=∠EFH=30°，进而得到点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30°的射线上，再过C作CH'⊥BH于点H'，根据点E从点B出发，沿BC边运动到点C，即可得到点H从点B沿BH运动到点H'，再利用在Rt△BH'C中，BH'=BCcos∠CBH'=3×=，即可得出点H所经过的路径长是．

详解：证明：如图1，在矩形ABCD中，，

，

，

，

，

，

，

；

由可得，，，

∽，

，

在矩形ABCD中，，，

设，则，

，

，，

当时，BF存在最大值；

如图2，连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM，

在等边三角形EFG中，，H是EG的中点，

，，

又是EF的中点，

，

在中，，M是EF的中点，

，

，

点B，E，H，F四点共圆，

连接BH，则，

点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为的射线上，

如图，过C作CH'⊥BH于点H'，

∵点E从点B出发，沿BC边运动到点C，

∴点H从点B沿BH运动到点H'，

在Rt△BH'C中，∠BH'C=90°，

∴BH'=BCcos∠CBH'=3×=，

点H所经过的路径长是．