Question

【题目】大数学家欧拉非常推崇观察能力，他说过，今天已知的许多数的性质，大部分是通过观察发现的，历史上许多大家，都是天才的观察家，化归就是将面临的新问题转化为已经熟悉的规范问题的数学方法，这是一种具有普遍适用性的数学思想方法．如多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算：

请用以上方法解决下列问题：

（1）计算：（x3+2x2﹣3x﹣10）÷（x﹣2）；

（2）若关于x的多项式2x4+5x3+ax2+b能被二项式x+2整除，且a，b均为自然数，求满足以上条件的a，b的值及相应的商．

Answer 1

【答案】（1）x2+4x+5；（2）当a＝0，b＝8时，此时多项式为2x4+5x3+8，商为2x3+x2﹣2x+4；当a＝1，b＝4时，此时多项式为2x4+5x3+x2+4，商为2x3+x2﹣x+2

【解析】

（1）直接利用竖式计算即可；
（2）竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数求得答案即可．

解：（1）列竖式如下：

（x3+2x2﹣3x﹣10）÷（x﹣2）＝x2+4x+5；

（2）列竖式如下：

∵多项式2x4+5x3+ax2+b能被二项式x+2整除，

∴余式b+4（a﹣2）＝0，

∵a，b均为自然数，

∴当a＝0，b＝8时，此时多项式为2x4+5x3+8，商为2x3+x2﹣2x+4，

当a＝1，b＝4时，此时多项式为2x4+5x3+x2+4，商为2x3+x2﹣x+2，

当a＝2，b＝0时，此时多项式为2x4+5x3+2x2，商为2x3+x2．