Question

14．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据待定系数法，可得CD的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得A、D点的坐标，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得答案；
（3）根据根据勾股定理，可得PA的长，PQ的长，根据圆的半径相等，可得关于u的方程，根据解方程，可得答案．

解答 （1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），
设解析式为y=a（x-1）²+4（a＜0），
又∵抛物线经过点N（2，3），
∴3=a（2-1）²+4，解得a=-1．
故所求抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；
（2）证明：如图1：
，
直线y=kx+t经过C（0，3）、M（1，4）两点，
$\left\{\begin{array}{l}{t=3}\\{k+t=4}\end{array}\right.$，
即k=1，t=3，
直线CD的解析式为y=x+3，
当y=0时，x=-3，即D（-3，0）；
当y=0时，-x²+2x+3=0，解得x=-1，即A（-1，0），
∴AD=2．
∵C（0，3），N（2，3）
∴CN=2=AD，且CN∥AD
∴四边形CDAN是平行四边形．
（3）解：如图2：
，
假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，
则PA是圆的半径且PA²=u²+2²，
过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PM．
由PQ²=PA²得方程：
$\frac{1}{2}$（4-u）²=u²+2²，
解得u=$\frac{-8+4\sqrt{7}}{2}$，u=$\frac{-8-4\sqrt{7}}{2}$（不符合题意，舍）．
所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，$\frac{-8+4\sqrt{7}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；利用等腰直角三角形得出PQ的长是解题关键，又利用半径相等得出关于u的方程．