精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+(k-1)x-k与直线y=kx+1交于AB两点,点A在点B的左侧.

1)如图1,当k=1时,直接写出AB两点的坐标;

2)在(1)的条件下,点P为抛物线上的一个动点,且在直线AB下方,试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标;

3)如图2,抛物线y=x2+(k-1)x-k(k0)x轴交于点CD两点(点C在点D的左侧),是否存在实数k使得直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切?若存在,请求出k的值;若不存在,说明理由.

【答案】1A-10),B23);(2ABP面积最大值为,此时点P坐标为(,﹣);(3)存在,k=时,使得直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切.

【解析】

1)当k=1时,联立抛物线与直线的解析式,解方程求得点AB的坐标;
2)如答图2,作辅助线,求出△ABP面积的表达式,然后利用二次函数的性质求出最大值及点P的坐标;
3)设直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切的切点为Q,以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,由圆周角定理可知,此时∠OQC=90°且点Q为唯一.以此为基础,构造相似三角形,利用比例式列出方程,求得k的值.需要另外注意一点是考虑直线AB是否与抛物线交于C点,此时不存在.

解:(1)当k=1时,抛物线解析式为y=x2-1,直线解析式为y=x+1
联立两个解析式,得:x2-1=x+1
解得:x=-1x=2
x=-1时,y=x+1=0;当x=2时,y=x+1=3
A-10),B23).

2)设Pxx2-1),

如答图1所示,过点PPF//y轴,交直线AB于点F,则Fxx+1).

PF=yFyP=x+1)﹣(x21=x2+x+2

SABP=SPFA+SPFB=PFxFxA+PFxBxF=PFxBxA=PF

SABP=(﹣x2+x+2=x2+.当x=时,yP=x21=

∴△ABP面积最大值为,此时点P坐标为(,﹣).

3)设直线ABy=kx+1x轴、y轴分别交于点EF

E0),F01),OE=OF=1

RtEOF中,由勾股定理得:EF== y=x2+k1xk=0,即(x+k)(x1=0,解得:x=kx=1C(﹣k0),OC=k

)设直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切的切点为Q,如答图2所示,

则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q,根据圆周角定理,此时OQC=90°

设点NOC中点,连接NQ,则NQEFNQ=CN=ON=EN=OEON=

∵∠NEQ=∠FEOEQN=EOF=90°∴△EQN∽△EOF

=,即=解得:k=±k0k=

存在实数k使得直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切,

此时k=

)若直线AB过点C时,此时直线与以OC为直径的圆要相切,必有AB⊥x轴,

而直线AB的解析式为y=kx+1不可能相切.

综上所述,k=时,使得直线y=kx+1与以OC为直径的圆相切.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知ABAC分别为⊙O的直径和弦,D为的中点,DE⊥ACEDE=6AC=16

1)求证:DE⊙O的切线.

2)求直径AB的长.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响,有较大幅度的上升,为了解某地区养殖户受非洲猪瘟疫情感染受灾情况,现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查(把调查结果分为四个等级:A级:非常严重;B级:严重;C级:一般;D级:没有感染),并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解决下列问题:

1)本次抽样调查的养殖户的总户数是   ;把图2条形统计图补充完整.

2)若该地区建档的养殖户有1500户,求非常严重与严重的养殖户一共有多少户?

3)某调研单位想从5户建档养殖户(分别记为abcde)中随机选取两户,进一步跟踪监测病毒传播情况,请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e的概率.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,点是直线与反比例函数图象的两个交点,轴于点C,己知点D01),连接ADBDBC

1)求反比例函数和直线AB的表达式;

2)根据函数图象直接写出当时不等式的解集;

3)设△ABC和△ABD的面积分别为,求的值.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】将两个等腰Rt△ADERt△ABC(其中∠DAE=∠ABC=90°AB=BCAD=AE)如图放置在一起,点EAB上,ACDE交于点H,连接BHCE,且∠BCE=15°,下列结论:AC垂直平分DE②△CDE为等边三角形;③tan∠BCD=,其中正确的结论是____________ (填写所有正确结论的序号)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】已知:如图,ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,点B的坐标为(1,2).反比例函数的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经A,C两点.

1)求反比例函数和一次函数的关系式;

2)直接写出不等式组0<ax+b≤的解集.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,某大楼的顶部有一块广告牌,小背在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为45°,沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为30°.已知山坡的坡度为米,米.


此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用.熟练掌握折叠的性质是关键.

1)求点距地面的高度

2)求广告牌的高度.(结果保留根号)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】综合与实践

问题情境:ABC中,∠BAC=90°AB=ACADBC于点D,点E是射线AD上的一个动点(不与点A重合)将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到线段AF,连接CF交线段AB于点G,交AD于点H、连接EG

特例分析:

(1)如图1,当点E与点D重合时,“智敏”小组提出如下问题,请你解答:

①求证:AF=CD

②用等式表示线段CGEG之间的数量关系为:_______

拓展探究:

(2)如图2,当点E在线段AD的延长线上,且DE=AD时,“博睿”小组发现CF=2EG.请你证明;

(3)如图3,当点E在线段AD的延长线上,且AE=AB时,的值为_______

推广应用:

(4)当点E在射线AD上运动时,,则的值为______用含m.n的式子表示)

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】2015年某省为加快建设综合交通体系,对铁路、公路、机场三个重大项目加大建设资金的投入.

1)机场建设项目中所有6个机场投入的建设资金金额统计如下图,已知机场投入的建设资金金额是机场所投入建设资金金额之和的三分之二,求机场投入的建设资金金额是多少亿元?并补全条形统计图.

2)将铁路、公路、机场三项建设所投入的资金金额绘制成如下扇形统计图以及统计表,根据扇形统计图及统计表中的信息,求得 .(请直接填写计算结果)

铁路

公路

机场

铁路、公路、机场三项投入建设资金总金额(亿元)

投入资金(亿元)

300

所占百分比

34%

6%

所占圆心角

查看答案和解析>>

同步练习册答案