Question

在平面直角坐标系中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点为射线CP上一点，满足，则称点为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点的示意图．

(1) 如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M(1，0)，N（0，2），

T（，）关于⊙O的反演点，，的坐标；

(2) 如图2，已知点A(1，4)，B(3，0)，以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D(点C位于点D下方)，E为CD的中点．

① 若点O，E关于⊙G的反演点分别为，，求∠的大小；

② 若点P在⊙G上，且∠BAP＝∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为，请直接写出线段的长度．

Answer 1

解：(1)(1，0)，(0，)，(1，1)； ……………………………………3分

(2) ①解法一：∵，，

∴＝，

即．

又∵∠＝∠EGO，

∴△∽△OEG，                ……………………………………4分

∴∠＝∠OEG．

∵E为弦CD的中点，G为圆心，

∴GE⊥CD于点E，

即∠OEG＝90°，                   ……………………………………5分

∴∠＝90°．                ……………………………………6分

解法二：易得G(2，2)，E(0，2)，，

∴EG＝2，OG＝．

∵，，

∴＝，＝．          ……………………………………4分

∵在射线GE上，在射线GO上，

∴(，2)，(，)，

∴＝，                     ……………………………………5分

∴，

∴∠＝90°．                  ……………………………………6分

②线段的长度为或．