Question

9．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°．
（1）利用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不要求写作法），作一个点P，使得点P到∠ACB两边的距离相等，且PA=PB；
（2）利用所学知识得到△ABP是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，分别作∠ACB的平分线和AB的垂直平分线，它们的交点即为P点；
（2）作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，如图，由（1）的作法得PM=PN，则可判断四边形PMCN为正方形得到∠MPN=90°，再判断Rt△PBM≌Rt△PNA得到∠BPM=∠APN，所以∠APB=90°，于是可判断△PAB为等腰直角三角形．

解答 解：（1）如图，点P为所作；

（2）作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，如图，
由（1）的作法得PM=PN，
而∠ACB=90°，
所以四边形PMCN为正方形，
所以∠MPN=90°
由PM=PN，PA=PB可判断Rt△PBM≌Rt△PNA，
所以∠BPM=∠APN，
所以∠APB=90°，
所以△PAB为等腰直角三角形．
故答案为等腰直角．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．