Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△ADC，∠B=∠D=90°．
（1）如图2，在Rt△ABC与Rt△ADC中，∠B=∠D=90°，你认为是A、B、C、D否会在同一个圆上呢？如果在，请说明并画出这个圆，若不能，请简述理由；
（2）图1中∠BAC=∠DAC=30°，AC=m，求BD；
（3）图2中点B、D位置变化过程中，∠BAC+∠DAC=60°，BD的长是否随B、D的运动而变化？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：（1）如图2，作辅助线；证明OA=OB=OC=OD；即可解决问题．
（2）如图1，作辅助线；证明△ABD为等边三角形；求出AB的长度，即可解决问题．
（3）如图2，作辅助线；求出BE的长度，进而得到BD=2BE，即可解决问题．

解答：解：（1）A、B、C、D会在同一个圆上；理由如下：
如图2，取AC的中点O；连接OB、OD；
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴OB=OD=

1

2

AC，OA=OB=OC=OD；
∴A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的圆上．
（2）如图1，连接BD；
∵Rt△ABC≌Rt△ADC，
∴AB=AD；而∠BAD=∠BAC+∠DAC=60°，
∴△ABD为等边三角形；
∵cos∠BAC=

AB

AC

，
∴AB=

3

2

AC=

3

2

m．
∴BD=AB=

3

2

m．
（3）BD的长度不会变化；理由如下：
如图2，过点O作OE⊥BD于点E；
则BE=DE；∠BOD=2∠BAD=120°；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
∴BE=

3

2

OB=

3

2

×

1

2

m，
∴BD=2BE=

3

2

m．
∴BD的长度不会变化，为常数

3

2

m．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用、直角三角形的性质等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定及其性质等知识点．