Question

已知二次函数y=x²+mx+m-5．
（1）求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；
（2）求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短，最短距离是多少？

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）根据b²-4ac与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，即m²-4（m-5）是否大于0，算出其取值范围即可；
（2）设函数与x轴两个交点的值为x₁，x₂，且x₂＞x₁，然后可根据函数两个值的和等于-m，两个值的积等于m-5算出x₂-x₁的值，最后求出其最小值即可．

解答：（1）证明：根据b²-4ac与0的大小关系来判断二次函数与x轴交点的个数，
即m²-4×1×（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16＞0，
所以抛物线总与x轴有两个交点；

（2）解：设函数与x轴两个交点的值为x₁，x₂，且x₂＞x₁，
x₁+x₂=-m，且x₁•x₂=m-5，
所以（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16，
所以当m=2时，x₂-x₁有最小值4，
所以，抛物线与x轴两交点之间的距离最短为4．

点评：本题主要考查了抛物线与x轴交点和b²-4ac与0的等量关系来判断二次函数与x轴交点的个数以及对于二次函数性质，正确利用完全平方公式是解题关键．．