[题目]如图.已知与.平分． (1)如图1.与的两边分别相交于点...试判断线段与的数量关系.并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法:解:．理由如下:如图1.过点作.交于点.则.-请根据小宇同学的证明思路.写出该证明的剩余部分．(2)你有与小宇不同的思考方法吗?请写出你的证明过程．(3)若.．①如图3.与的两边分别相交于点.时.(1)中的结论成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，已知与，平分．

(1)如图1，与的两边分别相交于点、，，试判断线段与的数量关系，并说明理由.

以下是小宇同学给出如下正确的解法：

解：．

理由如下：如图1，过点作，交于点，则，

…

请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．

(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．

(3)若，．

①如图3，与的两边分别相交于点、时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段、、有什么数量关系？说明理由．

②如图4，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系；如图5，的一边与的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段、、有什么数量关系．

【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，.在图5中，(1)中的结论成立，

【解析】

（1）通过ASA证明即可得到CD=CE；（2）过点作，，垂足分别为，，通过AAS证明同样可得到CD=CE；（3）①方法一：过点作，垂足分别为，，通过AAS得到，进而得到，利用等量代换得到，在中，利用30°角所对的边是斜边的一半得，同理得到，所以；方法二：以为一边作，交于点，通过ASA证明，得到，所以；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF

得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.

解：(1)平分，，

又

在与中，

(2)如图2，过点作，，垂足分别为，，

∴，

又∵平分，

∴，

在四边形中，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

在与中，

∴，

∴.

(3)①(1)中的结论仍成立..

理由如下：

方法一：如图3(1)，过点作，，

垂足分别为，，

∴，

又∵平分，

∴，

在四边形中，

，

又∵，

∴，

又∵，

∴，

在与中，

，

∴，

∴.

在中，

，

∴，同理，

∴.

方法二：如图3（2），以为一边作，交于点，

∵平分，∴，

∴，

∴，，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

，

∴，

在与中，

∴，

∴.

②在图4中，(1)中的结论成立，.

如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点

∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线

∴∠COB=∠COA=60°

又∵∠OCF=60°

∴△COF为等边三角形

∴OC=OF

∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°

∴∠OCD=∠FCB

又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°

∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°

∴∠COD=∠CFE

∴△COD≌△CFE（ASA）

∴CD=CE，OD=EF

∴OE=OF+EF=OC+OD

即OE-OD=OC

在图5中，(1)中的结论成立，.

如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点

∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线

∴∠COB=∠COA=60°

又∵∠OCG=60°

∴△COG为等边三角形

∴OC=OG

∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°

∴∠DCG=∠OCE

又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°

∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°

∴∠CGD=∠COE

∴△CGD≌△COE（ASA）

∴CD=CE，OE=DG

∴OD=OG+DG=OC+OE

即OD-OE=OC

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