Question

【题目】如图，正方形中，为边上任意点，平分，交于点．

（1）如图1，当点恰好为中点，延长交的延长线于点，求证：；

（2）在（1）的条件下，求证：；

（3）如图2，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接，当时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）由平行线的性质和等角对等边，即可得到结论成立；

（2）利用“AAS”证△ADF≌△GCF得AD=CG，据此知CG=BC=BE+CE，根据EG=BE+CE+CE=BE+2CE=AE即可得证；

（3）连接DG，证△ADF≌△DCG得∠CDG=∠DAF，再证△AFH∽△DFG得，结合∠AFD=∠HFG，知△ADF∽△HGF，从而得出∠ADF=∠FGH，根据∠ADF=90°即可得证．

解：（1）∵AD∥CG，

∴∠DAF＝∠G，

又∵AF平分∠DAE，

∴∠DAF＝∠EAF，

∴∠G＝∠EAF，

∴EA＝EG，

（2）∵点F为CD的中点，

∴CF＝DF，

又∵∠DFA＝∠CFG，∠FAD＝∠G，

∴△ADF≌△GCF（AAS），

∴AD＝CG，

∴CG＝BC＝BE+CE，

∴EG＝BE+CE+CE＝BE＝2CE＝AE；

（3）如图所示，连接DG，

∵CG＝DF，DC＝DA，∠ADF＝∠DCG，

∴△ADF≌△DCG（SAS），

∴∠CDG＝∠DAF，

∴∠HAF＝∠FDG，

又∵∠AFH＝∠DFG，

∴△AFH∽△DFG，

∴，

又∵∠AFD＝∠HFG，

∴△ADF∽△HGF，

∴∠ADF＝∠FGH，

∵∠ADF＝90°，

∴∠FGH＝90°，

∴AG⊥GH．