Question

【题目】如图，已知平形四边形ABCD中，对角线AC，BD交点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形.

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝2，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形ABCD的面积为20．

【解析】

（1）由平行四边形的性质得出AO=OC，由等边三角形三线合一的性质得出EO⊥AC，即BD⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论；
（2）由题意易得∠DAO=∠EAO-∠EAD=45°，进而证得菱形是正方形，即可得出结果．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，

∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC，

即 BD⊥AC，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）解：∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAC＝60°，

由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC，

∴∠AEO＝∠CEO＝30°，△AOE是直角三角形，

∴∠EAO＝60°，

∵∠AED＝2∠EAD，

∴∠EAD＝15°，

∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，

∵ABCD是菱形，

∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴四边形ABCD的面积＝AB2＝（2）2＝20．