Question

如果方程x²+px+q=0的两个根是x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x²+mx+n=0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分贝是已知方程两根的倒数；
（2）已知a、b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值；
（3）已知a、bc均为实数，且a+b+c=0，abc=16．
①求出一个含字母系数c的一元二次方程，使它的两根分别为a、b．
②求出整数c的最小值．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：（1）设方程x²+mx+n=0（n≠0）的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得到a+b=-m，ab=n，再计算出

1

a

+

1

b

=-

m

n

，

1

a

•

1

b

=

1

n

，然后根据根与系数的关系写出新方程；
（2）分类讨论：当a=b时，易得

a

b

+

b

a

═2；当a≠b时，则a、b可看作方程x²-15x-5=0的两实数根，根据根与系数的关系得到a+b=15，ab=-5，再利用完全平方根是变形得到

a

b

+

b

a

=

(a+b)2-2ab

ab

，然后利用整体代入的方法计算；
（3）①由于a+b+c=0，abc=16，则a+b=-c，ab=

16

c

，于是根据根与系数的关系可得两根分别为a、b的一元二次方程为x²+cx+

16

c

=0；
②利用根的判别式的意义得到△=c²-4×

16

c

≥0，解得c≥4，所以整数c的最小值为4．

解答：解：（1）设方程x²+mx+n=0（n≠0）的两根分别为a、b，
则a+b=-m，ab=n，
所以

1

a

+

1

b

=

a+b

ab

=-

m

n

，

1

a

•

1

b

=

1

n

，
所以所求新方程为x²-（-

m

n

）+

1

n

=0，
整理得nx²+mx+1=0；
（2）当a=b时，

a

b

+

b

a

=1+1=2；
当a≠b时，a、b可看作方程x²-15x-5=0的两实数根，则a+b=15，ab=-5，
所以

a

b

+

b

a

=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

152-2×(-5)

-5

=-47，
即

a

b

+

b

a

的值为2或-47；
（3）①∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=

16

c

，
∴两根分别为a、b的一元二次方程可为x²+cx+

16

c

=0；
②∵△=c²-4×

16

c

≥0，
∴c³≥64，解得c≥4，
∴整数c的最小值为4．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．