Question

【题目】如图①，已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．

（1）直接写出A，B，C三点的坐标：A　 　；B　 　；C　 　；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，时△APC的周长最小，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上的一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）;（2）存在．（3）点E坐标为（）．

【解析】试题分析：

（1）在y=﹣x2﹣2x+3中分别由y=0和x=0求出对应的x的值和y的值即可得到A、B、C三点的坐标；

（2）由已知易得抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=1，由题意可知点A、B关于直线x=1对称，连接BC交直线x=1于点P，则此时△ACP的周长最小，由点B、C的坐标可求出直线BC的解析式，把x=1代入所求解析式中求得对应的y的值即可得到点P的坐标；

（3）如图2，连接OE，由题意可设点E的坐标为（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），由S四边形BOCE=S△OBE+S△OCE即可列式表达出其面积，将所得表达式配方，结合二次函数的性质即可得到四边形BOCE面积的最大值和对应的点E的坐标.

试题解析：

（1）令x=0得：y=3，

∴C（0，3）．

令y=0，则0=﹣x2﹣2x+3，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（1，0），B（﹣3，0）．

故答案为：A（1，0）；B（﹣3，0）；C（0，3）．

（2）存在．

如图①所示：连接BC，交抛物线的对称轴与点P，连接PA．

由题意可知，A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称

∴PB=PA．

∴PC+PA=PC+PB．

由两点之间线段最短可知：PC+PA有最小值．

∴此时△APC周长最小．

设直线BC的解析式为y=kx+b．

将点B和点C的坐标代入得： ，解得k=1，b=3．

∴直线BC的解析式为y=x+3．

把x=﹣1代入y=x+3得y=2

∴P（﹣1，2）

（3）如图②所示：连接OE．

设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0）．

S四边形BOCE=OB|yE|+OC|xE|=×3×（﹣a）+×3×（﹣a2﹣2a+3）=﹣a2﹣a+=﹣（a+）2+．

∴当a=﹣时，四边形BOCE面积最大，且最大面积为．

此时，点E坐标为（）．