【题目】已知:如图,在等腰三角形ABC中,120BAC180,ABAC,ADBC于点D,以AC为边作等边三角形ACE,ACE与ABC在直线AC的异侧,直线BE交直线AD于点F,连接FC交AE于点M.
(1)求EFC的度数;
(2)求证:FE+FA=FC.
【答案】(1);(2)详见解析
【解析】
(1)根据等腰三角形的性质得出∠1=∠2,由直线AD垂直平分BC,求出FB=FC,根据等腰三角形的性质得出∠3=∠4,然后求出AB=AE,根据等腰三角形的性质得出∠3=∠5,等量代换求出即可得到;
(2)在FC上截取FN,使FN=FE,连接EN,根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形,求出∠FEN=60°,EN=EF,再求出∠5=∠6,根据SAS推出△EFA≌△ENC,根据全等得出FA=NC,即可证得结论.
解:(1)如图1,∵,
∴,
∵,
∴直线垂直平分,
∴,
∴,
∴,即,
∴在等边三角形中,,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵在等边三角形中,,
∴;
(2)在上截取,使,连接,如图2,
∵,
∵,
∴是等边三角形,
∴,,
∵为等边三角形,
∴,,
∴,
∴,即,
在和中,,
∴,
∴,
∴.
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【题目】如图,已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m+1与x轴交于A(x1 , 0)、B(x2 , 0)两点,且x1<0,x2>0,与y轴交于点C,顶点为P.(提示:若x1 , x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根,则x1+x2=﹣ ,x1x2= )
(1)求m的取值范围;
(2)若OA=3OB,求抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴PD上,存在点Q使得△BQC的周长最短,试求出点Q的坐标.
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【题目】如图,在⊙O 中,AB、CD是互相垂直的两条直径,点E在上,CF⊥AE 于点F,若点F四等分弦AE,且AE=8,则⊙O 的面积为______.
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【题目】在平面直角坐标系中,如果点、点为某个菱形的一组对角的顶点,且点、在直线上,那么称该菱形为点、的“极好菱形”.如图为点、的“极好菱形”的一个示意图.已知点的坐标为,点的坐标为.
(1)点,,中,能够成为点、的“极好菱形”的顶点的是 .
(2)若点、的“极好菱形”为正方形,求这个正方形另外两个顶点的坐标.
(3)如果四边形是点、的“极好菱形”.
①当点的坐标为时,求四边形的面积.
②当四边形的面积为8,且与直线有公共点时,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处.分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点.
(1)求AD的长及抛物线的解析式;
(2)一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动.设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
(3)点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点M与点N的坐标(不写求解过程);若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,ABCD的周长为36,对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为( )
A. 15 B. 18 C. 21 D. 24
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【题目】如图,对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A、B两点,其中A点的坐标为(-3,0)。
(1)求点B的坐标;
(2)已知,C为抛物线与y轴的交点。
①若点P在抛物线上,且,求点P的坐标;
②设点Q是线段AC上的动点,作QD⊥x轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值。
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【题目】春季流感爆发,有一人患了流感,经过两轮传染后共有人患了流感,
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)经过三轮传染后共有多少人患了流感?
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