Question

9．问题1
现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是∠1=2∠A
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是∠1+∠2=2∠A
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
问题2
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

Answer 1

分析 （1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
（3）利用两次外角定理得出结论；
（4）与（2）类似，先由折叠得：∠BMN=∠B′MN，∠ANM=∠A′NM，再由两平角的和为360°得：∠1+∠2=360°-2∠BMN-2∠ANM，根据四边形的内角和得：∠BMN+∠ANM=360°-∠A-∠B，代入前式可得结论．

解答 解：（1）如图1，∠1=2∠A，理由是：
由折叠得：∠A=∠DA′A，
∵∠1=∠A+∠DA′A，
∴∠1=2∠A；
故答案为：∠1=2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2=2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；
故答案为：∠1+∠2=2∠A；
（3）如图3，∠2-∠1=2∠A，理由是：
∵∠2=∠AFE+∠A，∠AFE=∠A′+∠1，
∴∠2=∠A′+∠A+∠1，
∵∠A=∠A′，
∴∠2=2∠A+∠1，
∴∠2-∠1=2∠A；
（4）如图4，由折叠得：∠BMN=∠B′MN，∠ANM=∠A′NM，
∵∠DNA+∠BMC=360°，
∴∠1+∠2=360°-2∠BMN-2∠ANM，
∵∠BMN+∠ANM=360°-∠A-∠B，
∴∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B）=2（∠A+∠B）-360°，
故答案为：∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

点评 本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．