Question

18．如图，在平面直角坐标系中，点A为双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上一点，以OA为一边向右作菱形OABC，且点C落在x轴正半轴上，边BC于双曲线交于点F，再以CF为一边向右作菱形CFED，点D也落在x轴正半轴上，连接AC、CE、AE，已知∠AOC=60°，S_△ACE=$\sqrt{3}$，则S_菱形OABC-S_菱形CFED=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作AM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，连结DF交CE于G，如图，设菱形OABC的边长为a，菱形CFED的边长为b，则OM=$\frac{1}{2}$a，CN=$\frac{1}{2}$b，由∠AOC=60°可判断AO=AC=a，AM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，则A（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），同样方法得到F（a+$\frac{1}{2}$b，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），则根据反比例函数图象上点的坐标特征得到$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=（a+$\frac{1}{2}$b）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，解得b=（$\sqrt{2}$-1）a，在菱形CFED中，易得△FCD为等边三角形，CG=FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，CE=2CG=$\sqrt{3}$b，接着利用对角线AC平分∠BCO，对角线CE平分∠FCD得到∠ACB=60°，∠FCE=30°，所以∠ACE=90°，利用三角形面积公式得$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$b=$\sqrt{3}$，即ab=2，于是可计算出a²=2$\sqrt{2}$+2，b²=2$\sqrt{2}$-2，然后根据菱形的面积公式计算S_菱形OABC-S_菱形CFED．

解答 解：作AM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，连结DF交CE于G，
如图，设菱形OABC的边长为a，菱形CFED的边长为b，则OM=$\frac{1}{2}$a，CN=$\frac{1}{2}$b，
∵∠AOC=60°，
∴AM=$\sqrt{3}$OM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴A（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∵BC∥OA，
∴∠BOC=120°，∠FCD=60°，
∴FN=$\sqrt{3}$CN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴F（a+$\frac{1}{2}$b，$\frac{\sqrt{3}}{2}$b），
∵点A和点F在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴$\frac{1}{2}$a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=（a+$\frac{1}{2}$b）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
整理得b²+2ab-a²=0，解得b=（$\sqrt{2}$-1）a或b=（-$\sqrt{2}$-1）a（舍去），
在菱形ABCO中，△AOC为等边三角形，则AC=OA=a，
在菱形CFED中，△FCD为等边三角形，CG=FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∵CE和DF互相垂直平分，
∴CE=2CG=$\sqrt{3}$b，
∵对角线AC平分∠BCO，对角线CE平分∠FCD，
∴∠ACB=60°，∠FCE=30°，
∴∠ACE=60°+30°=90°，
∵S_△ACE=$\frac{1}{2}$AC•CE，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\sqrt{3}$b=$\sqrt{3}$，即ab=2，
∴（$\sqrt{2}$-1）a•a=2，即a²=2$\sqrt{2}$+2，
∴b²=（$\sqrt{2}$-1）²a²=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_菱形OABC-S_菱形CFED=a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-b•$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a²-b²）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（2$\sqrt{2}$+2-2$\sqrt{2}$+2）=2$\sqrt{3}$．
故答案为2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和菱形的性质；记住含30度的直角三角形三边的关系；理解坐标与图形性质．