Question

13．如图，是一个圆柱形的饼干盒，在盒子外侧下底面的点A处有甲、乙两只蚂蚁，它们都想要吃到上底面外侧B′处的食物：甲蚂蚁沿A→A′→B′的折线爬行，乙蚂蚁沿圆柱的侧面爬行：若∠AOB=∠A′O′B′=90°（AA′、BB′都与圆柱的中轴线OO′平行），圆柱的底面半径是12cm，高为1cm，则：
（1）A′B′=12$\sqrt{2}$cm，甲蚂蚁要吃到食物需爬行的路程长l₁=12$\sqrt{2}$+1 cm；
（2）乙蚂蚁要吃到食物需爬行的最短路程长l₂=5$\sqrt{13}$ cm（π取3）；
（3）若两只蚂蚁同时出发，且爬行速度相同，在乙蚂蚁采取最佳策略的前提下，哪只蚂蚁先到达食物处？请你通过计算或合理的估算说明理由．（参考数据：π取3，$\sqrt{2}$≈1.4）

Answer 1

分析 （1）由∠A′O′B′=90°，可知△B′A′O′为等腰直角三角形，故此A′B′=$\sqrt{2}$A′O′，然后根据l₁=A′B′+AA′求解即可；
（2）先求得弧A′B′的长，然后根据勾股定理求得矩形AA′B′B的对角线的长度即可；
（3）将$\sqrt{2}$≈1.4代入从而可求得l₁、l₂的近似值，从而可作出判断．

解答 解：（1）∵∠A′O′B′=90°，O′A′=O′B′，
∴A′B′=A′B′=$\sqrt{2}$A′O′=12$\sqrt{2}$．
∴l₁=A′B′+AA′=12$\sqrt{2}$+1．
故答案为：12$\sqrt{2}$；12$\sqrt{2}$+1．
（2）$\widehat{A′B′}$=$\frac{90°×2π×12}{360°}$=6π=18．
将圆柱体的侧面展开得到如图1所示矩形AA′B′B．

∵$\widehat{A′B′}$=18，
∴A′B′=18．
在Rt△ABB′中，AB′=$\sqrt{BB{′}^{2}+A′B{′}^{2}}$=$\sqrt{1{8}^{2}+{1}^{1}}$=5$\sqrt{13}$．
故答案为：5$\sqrt{13}$．
（3）∵l₁=12$\sqrt{2}$+1≈12×1.2+1=15.4
∴${l}_{1}^{2}$=237.16．
∵${l}_{2}^{2}$=$（5\sqrt{13}）^{2}$=324，
∴${l}_{1}^{2}＜{l}_{2}^{2}$．
∴l₁＜l₂．
∴甲蚂蚁先到达食物处．

点评 本题主要考查的是平面展开路径最短、勾股定理的应用、扇形的弧长公式的应用，将圆柱体的侧面展开求得l₂的长度是解题的关键．