Question

【题目】（定义）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．

（1）如图1，△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，CD平分∠ACB．求证：CD为△ABC的完美分割线；

（2）在△ABC中，CD是△ABC的完美分割线，其中△ACD为等腰三角形，设∠A＝x°，∠B＝y°，则y与x之间的关系式为_____________________________；

（3）如图2，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3x＋y＝180或3x＋2y＝180；（3）CD=

【解析】

（1）据完美分割线①△ABC不是等腰三角形，②△ACD等三角形，③△BDC∽△BCA即可

（2）分三种情形讨论即可①如图2，当AD=CD时，②如图3中，当AD=AC时，③如图4中，当AC=CD时，分别求出x,y的关系即可.

（3）由题意可知，AC=AD=2；然后运用相似三角形的性质和判定以及勾股定理求解即可.

(1)证明：∵ ∠A＝40°，∠B＝60°

∴∠ACB＝80°

∴△ABC不是等腰三角形

∵CD平分∠ACB

∴∠ACD＝∠DCB＝40°

∴△ACD是等腰三角形

∵∠A＝∠DCB＝40° ∠B＝∠B

∴ △BCD∽△BAC

∴CD为△ABC的完美分割线

（2）①当AD=CD时，如图

∴∠ACD=∠A=x

∴∠CDA=∠ACD+∠A=2x

又∵△BCD∽△BAC

∴∠DCB=∠A=x

∴x+2x+y=180°，即3x＋y＝180

②当AD=AC时，如图

∴

又∵△BCD∽△BAC

∴∠DCB=∠A=x

∴x+y=，即3x+2y=180°

③当AD=AC时，如图

,矛盾，舍弃.

故y与x之间的关系式为3x＋y＝180或3x＋2y＝180

（3）由题意得AC=AD=2

∵△BCD∽△BAC

∴＝ 设BD=x

则x（x+2）=（ ）2

解得x1＝1 x2＝－3(舍去)

∴ BD=1

∵△BCD∽△BAC

∴＝ 即＝

∴CD=