【题目】已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)(特殊情况,探索结论)
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:
AE DB(填“>”、“<”或“=”).
(2)(特例启发,解答题目)
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE DB(填“>”、“<”或“=”);理由如下,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你将解答过程完整写下来).
(3)(拓展结论,设计新题)
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.(请你画出相应图形,并直接写出结果).
【答案】(1)=;(2)=;理由见解析;(3)3.
【解析】
(1)由E为等边三角形AB边的中点,利用三线合一得到CE垂直于AB,且CE为角平分线,由ED=EC,利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等,利用等角对等边即可得证;
(2)AE=DB,理由如下,过点E作EF∥BC,交AC于点F,由三角形ABC为等边三角形,得到三角形AEF为等边三角形,进而得到AE=EF=AF,BE=FC,再由ED=EC,以及等式的性质得到夹角相等,利用SAS得到三角形BDE与三角形EFC全等,利用全等三角形对应边相等得到DB=EF,等量代换即可得证;
(3)点E在AB延长线上时,如图所示,同理可得△DBE≌△EFC,由BC+DB求出CD的长即可.
(1)当E为AB的中点时,AE=DB;
(2)AE=DB,理由如下,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
证明:∵△ABC为等边三角形,
∴△AEF为等边三角形,
∴AE=EF,BE=CF,
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD,
∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF,
在△DBE和△EFC中,
,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
则AE=DB;
(3)点E在AB延长线上时,如图所示,同理可得△DBE≌△EFC,
∴DB=EF=2,BC=1,
则CD=BC+DB=3.
故答案为:(1)=;(2)=(3)3
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线过,,三点,点的坐标是,点的坐标是,动点在抛物线上.
________,________,点的坐标为________;(直接填写结果)
是否存在点,使得是以为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,说明理由;
过动点作垂直轴于点,交直线于点,过点作轴的垂线.垂足为,连接,当线段的长度最短时,求出点的坐标.
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【题目】如图1, △ABC和△CDE均为等腰三角形,AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a,且点A、D、E在同一直线上,连结BE.
(1)求证: AD=BE.
(2)如图2,若a=90°,CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 试求AB的长.
(3)如图3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接写出AE的值(用a, b 的代数式表示).
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【题目】如图,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论,①△BDF是等腰三角形;②DE=BD+CE;③若∠A=50°,∠BFC=105°;④BF=CF.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】定义:如图1,在平面直角坐标系中,点M是二次函数图象上一点,过点M作轴,如果二次函数的图象与关于l成轴对称,则称是关于点M的伴随函数如图2,在平面直角坐标系中,二次函数的函数表达式是,点M是二次函数图象上一点,且点M的横坐标为m,二次函数是关于点M的伴随函数.
若,
求的函数表达式.
点,在二次函数的图象上,若,a的取值范围为______.
过点M作轴,
如果,线段MN与的图象交于点P,且MP::3,求m的值.
如图3,二次函数的图象在MN上方的部分记为,剩余的部分沿MN翻折得到,由和所组成的图象记为.以、为顶点在x轴上方作正方形直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围.
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【题目】某城市出租汽车收费标准为:以内(含)收费元;超出的部分,每千米收费元.
(1)写出车费元与行驶路程x(km)之间的函数关系式(≥4);
(2)某人乘出租汽车行驶了5 km,应付多少车费;
(3)若某人付了元车费,那么出租车行驶了多远.
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【题目】(1)如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=45°,为了探究BD,DE,CE之间的等量关系,现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB,连接DF,经探究,你所得到的BD,DE,CE之间的等量关系式是 ;(无须证明)
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=60°,∠ADE=45°,试仿照(1)的方法,利用图形的旋转变换,探究BD,DE,CE之间的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】问题情境:如图①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于点D,可知:∠BAD=∠C(不需要证明);
(1)特例探究:如图②,∠MAN=90,射线AE在这个角的内部,点B.C在∠MAN的边AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明:△ABD≌△CAF;
(2)归纳证明:如图③,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
(3)拓展应用:如图④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E.F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为18,求△ACF与△BDE的面积之和是多少?
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=38°,D,E分别为AB,AC上一点,将△BCD,△ADE沿CD,DE翻折,点A,B恰好重合于点P处,则∠ACP=_________.
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