Question

【题目】如图1，以斜边AB为直径作Rt△ABC的外接圆，圆心为O，P为弧BC的中点．

（1）只用直尺和笔作图：在弧ACB另一侧的圆上找一点G，连接PG交BC于点D，使D成为BC中点．并说明你的理由．

（2）在（1）小题图形基础上，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK、BK，判断四边形PBKC的形状，并证明你的结论．

（3）如题图2，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：当∠CAB＝60°时，H为AB四等分点．

Answer 1

【答案】（1）画图见解析，理由见解析；（2）四边形PBKC是菱形，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据垂径定理可得，连接PO并延长交圆于点G即为所求；

（2）先根据垂径定理得，，再根据菱形的判定即可得；

（3）先根据中位线定理得出，再根据圆周角定理、平行线的判定得出，从而有，然后根据平行线的性质、等腰三角形的性质得出，从而有，最后根据中位线定理、直角三角形的性质得出，由此即可得证．

（1）如图，连接PO并延长交圆于点G，则点G即为所求，理由如下：

∵P是弧BC的中点

∴D是BC中点；（垂径定理)

（2）四边形PBKC是菱形，证明如下：

由（1）知，，（垂径定理）

∵

∴四边形PBKC是菱形；（两条对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形）

（3）∵

∴，即

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

由（1）知，点D为BC中点

为的中位线

在中，

∴点H为OB中点，即为AB四等分点．