Question

【题目】如图，（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝20°，∠OAC＝80°，AO＝，BO：CO＝1：3，求AB的长．经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2），请回答：∠ADB＝　 　°，AB＝　 　．

（2）请参考以上思路解决问题：如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝6，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3，求DC的长．

Answer 1

【答案】（1）80，8；（2）DC＝8

【解析】

（1）根据平行线的性质可得∠ADB＝∠OAC＝80°，即可证明△BOD∽△COA，可得，求出AD的长度，再根据角的和差关系得∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，即可得出AB＝AD＝8．

（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，通过证明△AOD∽△EOB，可得，根据线段的比例关系，可得AB＝2BE，根据勾股定理求出BE的长度，再根据勾股定理求出DC的长度即可．

解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB＝∠OAC＝80°，

∵∠BOD＝∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴

∵AO＝6，

∴OD＝AO＝2，

∴AD＝AO+OD＝6+2＝8，

∵∠BAD＝20°，∠ADB＝80°，

∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝80°＝∠ADB，

∴AB＝AD＝8，

故答案为：80，8；

（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图3所示：

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC＝∠BEA＝90°，

∵∠AOD＝∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴

∵BO：OD＝1：3，

∴

∵AO＝6，

∴EO＝AO＝2，

∴AE＝AO+EO＝6+2＝8，

∵∠ABC＝∠ACB＝75°，

∴∠BAC＝30°，AB＝AC，

∴AB＝2BE，

在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2，即（8）2+BE2＝（2BE）2，

解得：BE＝8，

∴AB＝AC＝16，AD＝3BE＝24，

在Rt△CAD中，AC2+AD2＝DC2，即162+242＝DC2，

解得：DC＝8．