【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，O是AD的中点，以O为圆心在AD的下方作半径为3的半圆O，交AD于E、F．
思考：连接BD，交半圆O于G、H，求GH的长；
探究：将线段AF连带半圆O绕点A顺时针旋转，得到半圆O′，设其直径为E'F′，旋转角为α（0＜α＜180°）．
（1）设F′到AD的距离为m，当m＞
时，求α的取值范围；
（2）若半圆O′与线段AB、BC相切时，设切点为R，求
的长．
（sin49°＝
，cos41°＝，tan37°＝，结果保留π）
【答案】思考：GH＝
；探究：（1）α的取值范围为30°＜α＜150°；（2）
或
.
【解析】
思考：作ON⊥BD，证△ADB∽△NDO得
，据此求得ON＝
，再根据勾股定理求得NH的长，继而由GH＝2NH可得答案；
探究：(1)过F′作F′Q⊥AD于Q，分垂足Q落在线段AD上和线段DA延长线上两种情况，利用Rt△AQF′中，sin∠QAF′＝
求得∠QAF′的度数即可得出∠α的范围；
(2)分半圆O′与AB相切和与BC相切两种情况求解，求出
所对圆心角度数即可得出答案．
思考：如图1，过O作ON⊥BD于N，
∴HN＝GN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，
又∵AB＝6，
∴BD＝10，
∵∠BAD＝∠OND＝90°，∠ADB＝∠NDO，
∴△ADB∽△NDO，
∴，
∴ON＝，
连接OH，
∵OH＝3，
∴HN＝
，
∴GH＝2HN＝
；
探究：(1)如图2，过F′作F′Q⊥AD于Q，
当F′到AD的距离为
时，有F′Q＝，
此时
，
所以α＝30°，
如图3，当Q落在DA延长线时，
可求得α＝150°，
所以当m＞时，α的取值范围为30°＜α＜150°；
(2)如图4，当半圆O′与AB相切，切点为R，连接O′R，
∴∠O′RA＝90°，
∵
，
∴∠O′AR＝49°，
∴∠F′O′R＝90°+49°＝139°，
∴的长＝
；
如图5，当半圆O′与BC相切，切点为R，过点O′作O′P⊥AB于P，连接O′R，
∴∠O′RB＝90°，
易得四边形PBRO′是矩形，
∴O′R＝BP＝3，
∴AP＝3，
∴，
∴∠PO'A＝49°，
∴∠RO'F'＝41°，
∴的长＝
，
综上，的长为或.
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【题目】如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0，1)、B(3，3)、C(1，3).
(1) 画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1
(2) 画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为______.
(3) 若△ABC内一点P(m，n)绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为______.
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【题目】现种植A、B、C三种树苗一共480棵，安排80名工人一天正好完成，已知每名工人只植一种树苗，且每名工人每天可植A种树苗8棵；或植B种树苗6棵，或植C种树苗5棵．经过统计，在整个过程中，每棵树苗的种植成本如图所示．
设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若种植的总成本为5600元，从植树工人中随机采访一名工人，求采访到种植C种树苗工人的概率．
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【题目】（1）（操作发现）
如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，连接BD，则∠ABD＝ 度．
（2）（解决问题）
①如图2，在边长为
的等边三角形ABC内有一点P，∠APC＝90°，∠BPC＝120°，求△APC的面积．
②如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，若PB＝1，PA＝3，∠BPC＝135°，则PC＝ ．
（3）（拓展应用）
如图4是A，B，C三个村子位置的平面图，经测量AB＝4，BC＝3
，∠ABC＝75°，P为△ABC内的一个动点，连接PA，PB，PC．求PA+PB+PC的最小值．
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【题目】如图，抛物线
经过
的三个顶点，与
轴相交于
，点
坐标为
，点
是点关于轴的对称点，点
在
轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点
为线段
上一动点，过点作
轴，
轴， 垂足分别为点
，
，当四边形
为正方形时，求出点的坐标；
（3）将（2） 中的正方形沿
向右平移，记平移中的正方形为正方形
，当点和点重合时停止运动， 设平移的距离为
，正方形的边
与交于点
，
所在的直线与交于点
， 连接
，是否存在这样的，使
是等腰三角形?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
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【题目】已知二次函数
的
与
的部分对应值如下表：
| -1 | 0 | 1 | 3 |
| -3 | 1 | 3 | 1 |
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为
；③当
时，函数值
随
的增大而增大；④方程
有一个根大于4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C.3个 D．4个
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【题目】如图，矩形ABCD中，
，
，动点P从点A出发，在AC上以每秒5cm的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（
），连接PQ.
（1）若△APQ与△ADC相似，求t的值；
（2）连结CQ，DP，若
，求t的值；
（3）连结BQ，PD，请问BQ能和PD平行吗？若能，求出t的值：若不能，说明理由.
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【题目】某市某幼儿园六一期间举行亲子游戏，主持人请三位家长分别带自己的孩子参加游戏，主持人准备把家长和孩子重新组合完成游戏，A、B、C分别表示三位家长，他们的孩子分别对应的是a、b、c．
（1）若主持人分别从三位家长和三位孩子中各选一人参加游戏，恰好是A、a的概率是多少（直接写出答案）
（2）若主持人先从三位家长中任选两人为一组，再从孩子中任选两人为一组，四人共同参加游戏，恰好是两对家庭成员的概率是多少．（画出树状图或列表）
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【题目】如图1，以斜边AB为直径作Rt△ABC的外接圆，圆心为O，P为弧BC的中点．
（1）只用直尺和笔作图：在弧ACB另一侧的圆上找一点G，连接PG交BC于点D，使D成为BC中点．并说明你的理由．
（2）在（1）小题图形基础上，在DG上取一点K，使DK＝DP，连接CK、BK，判断四边形PBKC的形状，并证明你的结论．
（3）如题图2，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：当∠CAB＝60°时，H为AB四等分点．
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