【题目】已知PA、PB是⊙O的切线,A、B为切点,连接AO并延长,交PB的延长线于点C,连接PO,交⊙O于点D.
(1)如图①,若∠AOP=65°,求∠C的大小;
(2)如图②,连接BD,若BD∥AC,求∠C的大小.
【答案】(1)40°;(2)30°.
【解析】
(1) 连接OB,根据切线长定理可知∠APO=∠BPO=25,利用三角形的外角性质求出∠C.
(2)连接OB,先利用BD∥AC,说明△OBD是等边三角形,得出∠BOP=∠AOP=60,∠APO=30,利用三角形的外角性质求出∠C.
解:(1)连接BO,
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴∠APO=∠BPO,PA⊥AO,PB⊥OB,
∵∠AOP=65°,
∴∠APO=90°﹣65°=25°,
∴∠BPO=∠APO=25°,
∵∠AOP=∠BPO+∠C,
∴∠C=∠AOP﹣∠BPO=65°﹣25°=40°,
(2)连接OB,设∠AOP=x,
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴∠APO=∠BPO,PA⊥AO,PB⊥OB,
∴∠AOP=∠BOP,OA=OB=OD,
∵BD∥AC,
∴∠ODB=∠AOP,
∴∠ODB=∠BOP,即∠ODB=∠BOD,
∴BD=OB=OD,
∴△OBD是等边三角形,
∴∠BOP=∠AOP=60,
∴∠BPO=30,
∴∠C=∠AOP-∠BPO=30.
故答案为:(1)40°;(2)30°.
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【题目】如图,是
的直径,
与
相切于点
,过点
作
的平行线交
于点
,
与
的延长线相交于点
.
试探究
与
的位置关系,并说明理由;
已知
,
,
,请你思考后,选用以上适当的数据,设计出计算
的半径
的一种方案:①你选用的已知数是________;②写出求解过程.(结果用字母表示)
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【题目】已知△ABC,AB=AC,D为直线BC上一点,E为直线AC上一点,AD=AE,设∠BAD=α,∠CDE=β.
(1)如图,若点D在线段BC上,点E在线段AC上.
①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α= °,β= °;
②求α,β之间的关系式.
(2)请直接写出不同于以上②中的α,β之间的关系式可以是 .(写出一个即可.)
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【题目】阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式了的平方,如3+2=(1+
)2.善于思考的小明进行了以下探索:
若设a+b=(m+n
)2=m2+2n2+2mn
(其中a、b、m、n均为整数),
则有a=m2+2n2,b=2mn.
这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)若a+b=(m+n
)2,当a、b、m、n均为整数时,用含m、n的式子分别表示a、b,得:a= ,b= ;
(2)若a+6=(m+n
)2,且a、m、n均为正整数,求a的值;
(3)化简:.
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【题目】如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(1)计算△ABC的周长等于_____.
(2)点P、点Q(不与△ABC的顶点重合)分别为边AB、BC上的动点,4PB=5QC,连接AQ、PC.当AQ⊥PC时,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段AQ、PC,并简要说明点P、Q的位置是如何找到的(不要求证明).
___________________________.
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【题目】如图,三个顶点的坐标分别为
,
,
.
(1)请画出关于
轴成轴对称的图形
,并写出
、
、
的坐标;
(2)求的面积;
(3〉在轴上找一点
,使
的值最小,请画出点
的位置.
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【题目】如图,抛物线y=mx2+2mx+n经过A(﹣3,0),C(0,﹣)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(2)过点C作CE∥x轴交抛物线于点E,写出点E的坐标,并求AC、BE的交点F的坐标
(3)若抛物线的顶点为D,连结DC、DE,四边形CDEF是否为菱形?若是,请证明;若不是,请说明理由.
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